22,273 בכורי ישראל

סיפור ההחלפה

בפרשת במדבר מספרת התורה על החלפתם של בכורי ישראל בלווים:

וַאֲנִי הִנֵּה לָקַחְתִּי אֶת הַלְוִיִּם מִתּוֹךְ בְּנֵי יִשְׂרָאֵל תַּחַת כָּל בְּכוֹר פֶּטֶר רֶחֶם מִבְּנֵי יִשְׂרָאֵל וְהָיוּ לִי הַלְוִיִּם. כִּי לִי כָּל בְּכוֹר בְּיוֹם הַכֹּתִי כָל בְּכוֹר בְּאֶרֶץ מִצְרַיִם הִקְדַּשְׁתִּי לִי כָל בְּכוֹר בְּיִשְׂרָאֵל מֵאָדָם עַד בְּהֵמָה לִי יִהְיוּ אֲנִי ה'. (במדבר ג' יב-יג)

משה נצטווה לפקוד את מספר בני לוי מגיל חודש ומעלה ומספרם עלה ל- 22,000 (במדבר ג' לט). לאחר מכן נמנו בכורי ישראל מבן חודש ומעלה לסך של 22,273 (במדבר ג' מב). משה נצטווה לקחת את הלווים תחת הבכורים ואת ההפרש בסך 273 בכורים העודפים, לפדות בסכום של 5 שקלים לכל בכור (במדבר ג' מד-נא)

הקושי במספר נמוך

בהנחה שמספר 22,273 הוא מספרם של כל הבכורים לאמם, מגיל חודש ועד הזקן שבישראל, מדובר במספר נמוך מאוד, עד בלתי אפשרי. שהרי מספר הגברים מגיל 20 שנה ומעלה היה 603,550. מול אותם כשש מאות אלף גברים היה מספר דומה של נשים באותם גילאים. אם היו 22,273 בכורים זכרים, היה מספר דומה של בנות בכורות, כלומר, סה"כ היו כ- 44 אלף בכורים משני המינים. וזה אומר שהיו לא יותר מ-44 אלף אמהות מתוך כ-600 אלף נשים בגילאי 20 ומעלה. מדובר על יחס פנטסטי של אמא אחת לכל 13.5 נשים בוגרות (13.55 = 44,546 / 603,550). זאת ועוד, מספר הבוגרים מגיל 20 שנה ומעלה, כלומר, סכומם של כ- 600 אלף הגברים וכ- 600 אלף הנשים היה כ- 1.2 מיליון גברים ונשים. אם נניח (הנחה ממעיטה) שמספרם של הצעירים מתחת לגיל 20 היה זהה, נקבל אוכלוסייה של לפחות 2.4 מיליון איש, שרובם המוחלט הם ילדיהן של אותן 44,546 נשים, כלומר לכל אמא היו יותר מ-50 ילדים (54.20 = 44,546 / 2,414,200). 

החשבון לעיל מבוסס על ההנחה שעל כל פטר רחם זכר יש בכורה נקבה אחת ולכן מספר האמהות בישראל היה כפול ממספר הבכורים הזכרים. אם נניח שיש גם נפלים, והאחוז שלהם הוא 50%, הנחה סבירה בעת העתיקה, מספר האפשרויות לצאצא ראשון של כל אמא יגדל מ-2  ל-4 אפשרויות: בן, בת, נפל בן, ונפל בת. זאת אומרת שעל כל אם שיש לה בן זכר בכור, יש עוד 3 אמהות שלהן ילד ראשון אחר. לכן, מול כ- 22 אלף אמהות לבנים זכרים בכורים, יש פי 3 אמהות שהילד הראשון שלהם אינו בכור פטר רחם, ובסה"כ כ- 88 אלף אמהות לילדים. המשמעות היא שהיחס בין האמהות לנשים שאינן אמהות יקטן ל- 6.77 (89,092 / 603,550) ומספר הילדים לכל אמא ירד לכ-27 (27.10 = 89,092 / 2,414,200). אלו עדיין מספרים גבוהים ולא סבירים.

אפשרויות לפתרון

הרמב"ן מעלה אפשרות שמספר הבכורים מתייחס לאלו שנולדו לאחר יציאת מצרים. היות והמפקד נערך בשנה השנייה בתחילת החודש השני, מדובר על בכורים בני חודש עד שנה וחודש. אך הרמב"ן דוחה זאת על הסף "כי לא נתרבו העם שם כל כך" (רמב"ן, במדבר ג' מה). כלומר המספר הזה של בכורים גבוה מדי. מדוע?

על כל פטר רחם זכר נולדו גם בנים פשוטים שאינם בכורים. היחס בין מספר הבכורים לפשוטים נקבע על פי שני פרמטרים עיקריים: מספר הילדים לכל אמא, ואחוז הנפלים. בהנחה שמספר הילדים בני קיימא הממוצע לכל אמא הוא כ-4, ואחוז הנפלים הוא 50%, היחס בין בכור לפשוט הוא יחס של 1:8 על פי החשבון הבא: כפי שהראינו, הילד הראשון של כל אמא יכול להיות, בהסתברות שווה, אחד מארבע אפשרויות הבאות: בן, בת, נפל בן, ונפל בת. רק באפשרות הראשונה, מדובר בפטר רחם החייב בפדיון. לכל אמא 4 ילדים בממוצע, ולכן לארבע האמהות האפשריות יש בסה"כ 16 ילדים, מהם 8 בנים, שרק אחד מהם הוא פטר רחם. כלומר, בכור אחד לכל 8 בנים זכרים. 

לכן, אם בשנה הראשונה ליציאה ממצרים נולדו 22,273 בכורים זכרים, פטר רחם לאימם, ניתן להסיק שבאותה תקופה נולדו בסה"כ פי 8 בנים זכרים, כלומר כ- 178,184 ילדים. בהנחה, כפי שהראינו קודם, שסך כל האוכלוסייה היה פי שניים ממספרם מגיל 20 שנה ומעלה, מספר כל הזכרים בישראל היה כ-1.2  מיליון. אם כך, יוצא שבשנה אחת נולדו כ- 14.76% מהאוכלוסייה (1,207,100 / 178,184). גם אם נניח שאחוז הנפלים היה קטן בחצי ועמד על 25%, היחס בין בכור לפשוט יקטן להיות 5.33, ובהתאמה, מספר הילדים בני שנה יקטן להיות 118,789, שהם 9.84% מכלל האוכלוסייה. מספר זה גבוה כמעט פי שלוש (2.91 ליתר דיוק) מאחוז גילאי 0-1 מכלל האוכלוסייה (כ-3.4%) על פי המודלים הדמוגרפים המתאימים.

הצעה לפתרון

בבמדבר (י"ח טז) נאמר: וּפְדוּיָו מִבֶּן חֹדֶשׁ תִּפְדֶּה בְּעֶרְכְּךָ כֶּסֶף חֲמֵשֶׁת שְׁקָלִים בְּשֶׁקֶל הַקֹּדֶשׁ. הכוונה במילה "בְּעֶרְכְּךָ" הוא שסכום הפדיון נקבע על פי ערכו של האדם, כפי שמתואר בסוף ספר ויקרא, בפרשת ערכים (ויקרא כ"ג א-ח). בפרשת זו ערכו של האדם נקבע על פי מינו והשתייכותו לאחת מ-4 קבוצות גילאים: ילדות, נערות, בגרות וזקנה, כאשר לכל קבוצת גיל יש ערך שונה. חמישה שקלים מתאימים לערכו של זכר בן חודש ועד בן 5 שנים.

מה קורה למי שלא נפדה ועבר את גיל 5? על פי ההלכה, הוא עדיין חייב בפדיון בסכום של 5 שקלים. לכאורה, הלכה זו לא מתאימה עם הקביעה שסכום הפידיון נקבע "בְּעֶרְכְּךָ", כלומר, על פי פרשת ערכים, שקובעת כי ערכו של האדם תלוי בקבוצת הגיל לה הוא שייך. על פי הפשט, אם לדוגמה גילו של הבכור נמצא בטווח הגילאים 5-20 עליו לפדות את עצמו ב-20 שקלים, שהרי ערכו השביח עם השנים. כעת הוא שווה יותר ולכן צריך לפדות את עצמו בערכו הנוכחי. הנצי"ב עמד על חוסר ההתאמה בין ההלכה שמקבעת את סכום הפידיון ל-5 שקלים ללא התחשבות בגיל הנפדה, לפשט הפסוקים הקובע שסכום הפדיון נקבע לפי ערכו של האדם, הנקבע על פי גילו. ההסבר של הנצי"ב הוא שמדובר בפרט ודרכה של ההלכה שפרטי מצווה לא תמיד תואמים את הרעיון שעומד בבסיסה: 

שיעור ערך זכר מבן חודש, וכדכתיב בפרשת קרח (להלן יח,טז) ״ופדויו מבן חודש תפדה בערכך כסף חמשת וגו׳⁠ ⁠״. ואע״ג שאם נשתהה הבכור ולא נפדה עד עשרים שנה ג״כ אין צריך יותר, היינו משום דכך דרכה של תורה, דעיקר המצוה בטעם והפרטים חוקה. (העמק דבר, במדבר ג' מז).

גם אם נקבל שבפידיון בכור שעבר את גיל 5 שנים ולא נפדה, עדיין די ב-5 שקלים כדי לפדותו, זה יהיה בגלל שערך הפדיון נקבע כאשר היה בן חודש, ומרגע שנקבע, הסכום הופך להיות חוב לכוהן שערכו לא משתנה עם השנים. אבל אם נתאר מציאות שבה אדם מבוגר שלא היה חייב בפידיון, יהיה לפתע מחויב בפידיון, ערך הפידיון אמור להיקבע על פי פרשת ערכים, כלומר על פי גילו. ואם הוא לדוגמה בן 25 יהיה עליו לשלם 50 שקלים על מנת לפדות את עצמו.

273 הבכורים, העודפים על מספר הלווים, נפדו ב- 5 שקלים. עובדה זו מעידה לכאורה על כך שבכורי ישראל היו מגיל חודש ועד 5 שנים ולא כללו את כל אוכלוסיית הבכורים לאימותם, שהרי אחרת היה צריך לשלם עליהם על פי גילם וערכם. 

אבל כיצד מסתדרת מסקנה זו עם העובדה שהתורה אומרת שבכורי ישראל נמנו מגיל חודש ומעלה, שעל פי פשוטו, הכוונה לכל בכורי ישראל, מגיל חודש ועד המופלג שבזקני ישראל? התשובה היא שהביטוי מ-X שנה ומעלה אין כוונתו בהכרח: X וכל גיל הגבוה מ-X. לדוגמה, כאשר התורה מתארת את יוצאי הצבא בישראל היא אומרת: "מִבֶּן עֶשְׂרִים שָׁנָה וָמַעְלָה כָּל יֹצֵא צָבָא בְּיִשְׂרָאֵל" (במדבר א' ג). אולם, ככל הנראה, גברים בגיל הזקנה לא נמנו כלוחמים בצבא. ולכן, נראה שהכוונה במילים "מבן עשרים שנה ומעלה" היא לקבוצת הגיל המתוארת בפרשת ערכים שמתחילה בגיל 20 ומסתיימת בגיל 60, כלומר תקופת הבגרות. באופן דומה אפשר להבין כאשר התורה אומרת למנות את בכורי ישראל "מבן חודש ומעלה" (במדבר ג' לט) היא מתכוונת לקבוצת הגיל המתוארת בפרשת ערכים, המתחילה מגיל חודש ועד חמש שנים – כלומר גיל הילדות, שהוא הגיל הרלוונטי לפטר רחם.

כמה מנו ישראל?

כאמור, מספר הגברים יוצאי צבא בישראל, מגיל עשרים היה 603,550. מספר הגברים בישראל גדל במשך 430 מכ-70 נפש והגיע מעל 600 אלף גברים. זהו קצב גידול עצום עליו נאמר בתורה: וּבְנֵי יִשְׂרָאֵל פָּרוּ וַיִּשְׁרְצוּ וַיִּרְבּוּ וַיַּעַצְמוּ בִּמְאֹד מְאֹד וַתִּמָּלֵא הָאָרֶץ אֹתָם (שמות א' ז). מבחינה דמוגרפית, פירמידת הגילאים המתארת חברה הצומחת במהירות היא פרמידה מתרחבת, פירמידה בעלת בסיס רחב וקודקוד צר, האופיינית לאוכלוסיות עם שיעורי ילודה ותמותה גבוהים ותוחלת חיים קצרה יחסית, כמו זו שהייתה בתקופת המקרא בשל היעדר רפואה מתקדמת. בפירמידה מתרחבת כזו, אחוז האוכלוסייה בטווח הגילאים 20-60 הוא כ- 42%. אם נקבל ש- 603,550 יוצאי צבא בישראל היו בין הגילאים 20-60, נוכל להסיק כי כלל אוכלוסיית הגברים מנתה 1,141,430 (1.14 מיליון). 

מה ניתן ללמוד ממספר הבכורים על כלל האוכלוסייה? הראינו קודם לכן שהיחס בין בכור לפשוט הוא יחס של 1:8. אם נקבל את ההצעה ש- 22,273 בכורי ישראל היו בני חודש ועד 5 שנים, נוכל להסיק שהמספר הכולל של ילדים בגילאים אלו היה פי 8, כלומר 178,184. בפרמידה גילאים מתרחבת, אחוז האוכלוסייה בטווח של עד 5 שנים הוא כ- 16%. לפי נתון זה ניתן להעריך את כלל אוכלוסיית הגברים להיות: 1,147,118. התוצאה הזו, מתאימה התאמה מלאה להערכת גודל אוכלוסיית הגברים שקיבלנו ממספר יוצאי הצבא (1,141,430) . ההבדל ביניהם הוא כחצי אחוז. ההתאמה הזו מאששת את הטענה שבשני המקרים, מבן 20 שנה ומעלה, ומבן חודש ומעלה, הכוונה לקבוצות הגילאים המתוארות בפרשת ערכים, כלומר, לתקופת הבגרות ותקופת הילדות בהתאמה. 

הראינו שהמספרים מסתדרים אם אנו מניחים ש- 22,273 הבכורים היו בגילאי חודש ועד 5 שנים, אך מה הרציונל לספור רק את הבכורים האלו? אם הבכורים של ה' - הרי שכולם שלו ולכן כולם, מהצעיר ועד למבוגר ביותר, צריכים פדיון. אם נקבל את הצעתו של הרמב"ן (שאותה הוא דחה על הסף), יש לספור רק את הבכורים שנולדו לאחר יציאת מצרים, כלומר את אלו שהם בני חודש ומעלה ועד שנה וחודש, שהיא התקופה שעברה מאז יציאת מצרים ועד לקיום המפקד (במדבר א' א).

התשובה היא שבאופן עקרוני, ההקדשה של הבכורים לה' התבצעה רק לאחר מכת בכורות ויציאת מצרים. אולם היא כללה לא רק את הבכורים שנולדו אחריה, אלא גם את כל אלו שהיו בזמן המפקד בקבוצת גילאי הילדים, כלומר אלו שהיו בני חודש ועד 5 שנים. הסיבה לכך היא שאותם ילדים נמצאים בקבוצת הגיל הקרובה ביותר ללידה עצמה, לרגע שבו יצאו ראשונים מרחם אימם. הם עדיין נמצאים בגיל בו ניתן לפדות ב-5 שקלים כמו תינוק בן חודש שנפדה. ולכן, למרות שרובם נולדו מעט לפני יציאת מצרים ולא אחריה, הם עדיין נכללים בקבוצת הבכורים שהוקדשו ושצריך לפדות אותם.

הקושי שנשאר עדיין הוא כיצד יתכן שהביטוי מבן חודש ומעלה מתפרש בשני אופנים שונים. בנוגע ללווים - כפשוטו ובנוגע לבכורי ישראל הוא מתייחס לקבוצת הגיל המתחילה מבן חודש ועד בן 5 שנים? על כך ניתן לענות שהתורה רצתה ליצור הקבלה בין בכורי ישראל לבין הלווים ולכן השתמשה בביטויים דומים אבל בעלי משמעות שונה. אצל הלווים כפשוטו אבל בישראל, הבכורים כמו יוצאי הצבא בישראל נמנים על פי קבוצות הגיל המתוארים בפרשת ערכים שבסוף ספר ויקרא, בקבוצות שיש להם גבול עליון, ולא רק גבול תחתון.